1 Toepassing

Gebruik de Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid of de Fisher’s exacte toets om te toetsen of er een afhankelijkheid bestaat tussen twee ongepaarde, binaire variabelen.¹^,² In tegenstelling tot de Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid kan de Fisher’s exacte toets ook bij een laag aantal observaties gebruikt worden, dit wordt bij de assumpties toegelicht.³ De Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid kan ook gebruikt worden wanneer de twee categorische variabelen meer dan twee categorieën bevatten, maar Fisher’s exacte toets vereist wel dat beide variabelen binair zijn. Deze toetspagina illustreert de toets echter voor twee ongepaarde binaire variabelen.

2 Onderwijscasus

De studentendecaan van een hogeschool vraagt zich af of het invoeren van het leenstelsel van invloed is op het uitvallen van studenten met een functiebeperking. Daarom onderzoekt hij of er een afhankelijkheid is tussen het wel of niet uitvallen van studenten met een functiebeperking en het wel of niet invoeren van het leenstelsel.

Dit onderzoek vertaalt zich in de volgende combinatie van hypothesen, waarbij de nulhypothese zo geformuleerd is dat er geen effect of verschil is en de alternatieve hypothese zo geformuleerd is dat er wel een effect of verschil is.

H₀: Er is geen afhankelijkheid tussen het wel of niet uitvallen van studenten met een functiebeperking en het wel of niet invoeren van het leenstelsel.

H_A: Er is een afhankelijkheid tussen het wel of niet uitvallen van studenten met een functiebeperking en het wel of niet invoeren van het leenstelsel.

3 Assumpties

Voor een valide resultaat moeten de data aan een aantal voorwaarden voldoen voordat de toets uitgevoerd kan worden. De variabelen zijn categorisch (nominaal⁴ of ordinaal⁵) en de observaties zijn onafhankelijk van elkaar.

3.1 Groepsgrootte

De Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid heeft een assumptie wat betreft het aantal observaties in een kruistabel. Een kruistabel is een tabel waarin de aantallen observaties worden weergegeven per combinatie van de categorieën van beide variabelen. De kruistabel van de data in de huidige casus is te vinden in Tabel 1.

	geen uitval	uitval	totaal
geen leenstelsel	496	375	871
wel leenstelsel	394	369	763
totaal	890	744	1634

Tabel 1. Geobserveerde aantallen casus uitval met of zonder leenstelsel

De Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid wordt onbetrouwbaar als er in meer dan 20% van de cellen van de kruistabel een verwacht aantal observaties van 5 of lager is. Gebruik in dat geval Fisher’s exacte toets.⁶ Het verwacht aantal observaties in een cel is het aantal observaties dat zich in een cel op basis van kansrekening zou moeten bevinden wanneer er geen afhankelijkheid tussen de twee variabelen is. Op basis van de nulhypothese van onafhankelijkheid tussen de variabelen kunnen de verwachte aantallen observaties in elke cel berekend worden. Een voorbeeldberekening van het verwacht aantal observaties voor de cel linksboven (geen leenstelsel; geen uitval) werkt als volgt: vermenigvuldig het totaal aantal studenten in de groep geen leenstelsel (871) met het totaal aantal studenten dat niet uitvalt (890) en deel dit door het totaal aantal studenten (1634).

aantal studenten geen leenstelsel: 871
aantal studenten geen uitval: 890
totaal aantal studenten: 1634
verwacht aantal uitgevallen studenten geen leenstelsel: 871 * 890 / 1634 ≈ 474,41

Alle verwachte aantallen observaties zijn te vinden in Tabel 2. Merk ook op dat de totalen in de rijen en kolommen gelijk zijn aan de totalen in Tabel 1, de kruistabel met de aantallen observaties. Geen van de verwachte aantallen is kleiner of gelijk aan vijf, dus er is voldaan aan de assumptie van groepsgrootte voor de Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid.

	geen uitval	uitval	totaal
geen leenstelsel	474,41	396,59	871
wel leenstelsel	415,59	347,41	763
totaal	890	744	1634

Tabel 2. Verwachte aantallen casus uitval met of zonder leenstelsel

4 Effectmaat

De p-waarde geeft aan of een (mogelijk) verschil tussen twee groepen statistisch significant is. De grootte van het verschil of effect is echter ook relevant. Een effectmaat is een gestandaardiseerde maat die de grootte van een effect weergeeft, zodat effecten van verschillende onderzoeken met elkaar vergeleken kunnen worden.⁷ De Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid heeft als effectmaat Cohen’s w.⁸ Een indicatie om Cohen’s w te interpreteren is: rond 0,1 is het een klein effect, rond 0,3 is het een gemiddeld effect en rond 0,5 is het een groot effect.⁹

De odds ratio is een andere effectmaat die voor zowel de Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid als de Fisher’s exacte toets kan worden gebruikt. Een voorwaarde is echter dat beide variabelen binair zijn. In andere woorden, er moet een 2x2 kruistabel gevormd kunnen worden. Odds is een Engelse term voor de verhouding van twee kansen, bijvoorbeeld de verhouding tussen het aantal studenten dat uitvalt en niet uitvalt. Een odds ratio is de verhouding tussen twee odds, dus de verhouding van de odds van studentenuitval voor de periode met leenstelsel en de periode zonder leenstelsel. De odds ratio geeft dus een interpretatie van het effect van een leenstelsel op het uitvallen van studenten.¹⁰

5 De data bekijken

Er is een dataset ingeladen genaamd Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel. In deze dataset is voor elke student met een functiebeperking aangegeven of ze studeerden voor of na invoering van het leenstelsel en of ze wel of niet uitgevallen zijn.

## Eerste 6 observaties
head(Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel)
##   Studentnummer          Periode      Uitval
## 1       4000039 Geen leenstelsel Geen uitval
## 2       4000618 Geen leenstelsel      Uitval
## 3       4000720 Geen leenstelsel      Uitval
## 4       4000859 Geen leenstelsel Geen uitval
## 5       4001662 Geen leenstelsel Geen uitval
## 6       4001817 Geen leenstelsel      Uitval

## Laatste 6 observaties
tail(Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel)
##      Studentnummer     Periode      Uitval
## 1629       4497450 Leenstelsel      Uitval
## 1630       4497730 Leenstelsel      Uitval
## 1631       4498419 Leenstelsel      Uitval
## 1632       4498712 Leenstelsel      Uitval
## 1633       4499005 Leenstelsel Geen uitval
## 1634       4499591 Leenstelsel Geen uitval

Een kruistabel geeft de aantallen observaties weer voor de combinaties van de categorieën van de variabelen Periode en Uitval. Maak de kruistabel met de functie table() met als argumenten de variabele Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode (voor of na invoering leenstelsel) en Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval (wel of niet uitgevallen).

## Maak een kruistabel
Uitval_studenten_kruistabel <- table(Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode, Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval)

## Print de kruistabel 
print(Uitval_studenten_kruistabel)

##                   
##                    Geen uitval Uitval
##   Geen leenstelsel         496    375
##   Leenstelsel              394    369

## Print een tabel met proporties, tweede argument 2 zorgt ervoor dat de 
## proporties per rij berekend worden
prop.table(Uitval_studenten_kruistabel, 1)

##                   
##                    Geen uitval    Uitval
##   Geen leenstelsel   0.5694604 0.4305396
##   Leenstelsel        0.5163827 0.4836173

De kruistabel en bijbehorende tabel met proporties laat zien dat het percentage uitgevallen studenten hoger is na invoering van het leenstelsel (48,36%) dan voor invoering van het leenstelsel (43,05%).

5.1 Assumptie groepsgrootte

Toets de assumptie dat niet meer dan 20% van de verwachte aantallen observaties gelijk aan of kleiner dan vijf is. Bereken het verwacht aantal observaties met het argument chisq.test()$expected van de functie chisq.test() met als argumenten de variabelen Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode (voor of na invoering leenstelsel) en Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval (wel of niet uitgevallen).

chisq.test(Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode,
           Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval)$expected

##                   
##                    Geen uitval   Uitval
##   Geen leenstelsel    474.4125 396.5875
##   Leenstelsel         415.5875 347.4125

Geen van de verwachte aantallen observaties is gelijk aan of kleiner dan vijf, dus de Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid kan worden uitgevoerd.

6 Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid

6.1 Uitvoering

De Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid wordt uitgevoerd om de vraag te beantwoorden of er een afhankelijkheid is tussen het uitvallen van studenten met een functiebeperking en het wel of niet invoeren van het leenstelsel. Gebruik de functie chisq.test() met als argumenten de variabelen Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode (voor of na invoering leenstelsel) en Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval (wel of niet uitgevallen).

chisq.test(Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode,
           Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval)

## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode and Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval
## X-squared = 4.4086, df = 1, p-value = 0.03576

Bereken de effectmaat Cohen’s w vervolgens op basis van de χ²-waarde van de Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid.

# Sla de teststatistiek op
Chi2_teststatistiek <- chisq.test(Tabel_uitval_functiebeperking)$statistic

# Bereken het totaal aantal observaties als som van de kruistabel
N <- sum(Tabel_uitval_functiebeperking)

# Bereken eta squared
w <- sqrt(Chi2_teststatistiek / N)

# Print de effectgrootte
paste("De effectgrootte is",w)

## [1] "De effectgrootte is 0.0519427149089799"

χ² ₁ = 4,41, p = 0,04, w = 0,05
Vrijheidsgraden: df = (k-1)(r-1), waar k staat voor kolom en r voor rij. In dit geval geldt df = 1.
p-waarde < 0,05, dus de H₀ wordt verworpen.¹¹
Effectmaat is 0,05, dus een klein effect

6.2 Rapportage

De Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid is uitgevoerd om te toetsen of er een afhankelijkheid is tussen het uitvallen van studenten met een functiebeperking en het wel of niet invoeren van het leenstelsel. De nulhypothese dat uitval en invoering van het leenstelsel onafhankelijk zijn kan verworpen worden, χ² ₁ = 4,41, p = 0,04, w = 0,05. De propoties per rij in Tabel 3 laten zien dat er relatief meer studenten uitvallen nadat er een leenstelsel is ingevoerd.

	geen uitval	uitval
geen leenstelsel	0,57	0,43
wel leenstelsel	0,52	0,48

Tabel 3. Proporties wel of niet uitvallen studenten met of zonder leenstelsel berekend per rij.

7 Fisher’s exacte toets

7.1 Uitvoering

Fisher’s exacte toets wordt uitgevoerd om de vraag te beantwoorden of er een afhankelijkheid is tussen het uitvallen van studenten met een functiebeperking en het wel of niet invoeren van het leenstelsel. Deze toets is ook betrouwbaar bij een laag aantal observaties. Om de toets te illustreren is een subset van de dataset Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel ingeladen; de subset heet Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel.

Een kruistabel geeft de aantallen observaties weer voor de combinaties van de categorieën van de variabelen Periode en Uitval. Maak de kruistabel met de functie table() met als argumenten de variabele Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode (voor of na invoering leenstelsel) en Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval (wel of niet uitgevallen).

## Maak een kruistabel
Fisher_Uitval_studenten_kruistabel <- table(Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode, Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval)

## Print de kruistabel 
print(Fisher_Uitval_studenten_kruistabel)

##                   
##                    Geen uitval Uitval
##   Geen leenstelsel           8      3
##   Leenstelsel               14      7

## Print een tabel met proporties, tweede argument 2 zorgt ervoor dat de 
## proporties per rij berekend worden
prop.table(Fisher_Uitval_studenten_kruistabel, 1)

##                   
##                    Geen uitval    Uitval
##   Geen leenstelsel   0.7272727 0.2727273
##   Leenstelsel        0.6666667 0.3333333

De kruistabel en bijbehorende tabel met proporties laat zien dat het percentage uitgevallen studenten hoger is na invoering van het leenstelsel (33,33%) dan voor invoering van het leenstelsel (27,27%).

7.2 Assumptie groepsgrootte

Toets de assumptie dat niet meer dan 20% van de verwachte aantallen observaties gelijk aan of kleiner dan vijf is. Bereken het verwachte aantal observaties met het argument chisq.test()$expected van de functie chisq.test() met als argumenten de variabelen Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode (voor of na invoering leenstelsel) en Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval (wel of niet uitgevallen).

chisq.test(Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode,
           Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval)$expected

## Warning in
## chisq.test(Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode, : Chi-
## squared approximation may be incorrect

##                   
##                    Geen uitval Uitval
##   Geen leenstelsel      7.5625 3.4375
##   Leenstelsel          14.4375 6.5625

Een van de verwachte aantallen observaties is kleiner dan vijf, dus de Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid kan niet worden uitgevoerd. Fisher’s exacte toets moet inderdaad gebruikt worden voor deze dataset.

7.3 Fisher’s exacte toets

Voer Fisher’s exacte toets uit met de functie fisher.test met als argumenten de variabelen Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode (voor of na invoering leenstelsel) en Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval (wel of niet uitgevallen).

fisher.test(Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode,
           Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval)

## 
##  Fisher's Exact Test for Count Data
## 
## data:  Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Periode and Fisher_Uitval_studenten_functiebeperking_leenstelsel$Uitval
## p-value = 1
## alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   0.2157919 10.1751326
## sample estimates:
## odds ratio 
##   1.321591

p = 1; p-waarde > 0,05, dus de H₀ wordt niet verworpen.¹²
De odds ratio is 1,32 met een 95%-betrouwbaarheidsinterval van 0,22 tot 10,18. De kans op uitval van studenten met een functiebeperking met leenstelsel is dus 1,32 keer zo groot is als de kans op uitval van studenten met een functiebeperking zonder het leenstelsel. Deze relatie is echter niet significant.

7.4 Rapportage

Fisher’s exacte toets is uitgevoerd om te toetsen of er een afhankelijkheid is tussen het uitvallen van studenten met een functiebeperking en het wel of niet invoeren van het leenstelsel. De nulhypothese dat uitval en invoering van het leenstelsel onafhankelijk zijn kan niet verworpen worden, p = 1. De proporties per rij in Tabel 4 laten zien dat er relatief meer studenten uitvallen nadat er een leenstelsel is ingevoerd, dit verschil is echter niet significant.

	geen uitval	uitval
geen leenstelsel	0,73	0,27
wel leenstelsel	0,67	0,33

Tabel 4. Proporties wel of niet uitvallen studenten met of zonder leenstelsel berekend per rij voor dataset Fisher’s exacte toets.

Binaire variabelen: twee elkaar uitsluitende waarden, zoals ja of nee, 0 of 1, aan of uit.↩
Prabhakaran, S. (2016-2017). Statistical Tests. http://r-statistics.co/Statistical-Tests-in-R.html.↩
Van Geloven, N., & Holman, R., (6 mei 2016). Fisher’s exact toets. Wiki Statistiek Academisch Medisch Centrum.↩
Een nominale variabele is een categorische variabele waarbij de categorieën niet geordend kunnen worden. Een voorbeeld is de variabele windstreek (noord, oost, zuid, west) en geslacht (man of vrouw).↩
Een ordinale variabele is een categorische variabele waarbij de categorieën geordend kunnen worden. Een voorbeeld is de variabele beoordeling met de categorieën Onvoldoende, Voldoende, Goed en Uitstekend.↩
Van Geloven, N. (20 augustus 2015). Chi-kwadraat toets. Wiki Statistiek Academisch Medisch Centrum.↩
Field, A., Miles, J., & Field, Z. (2012). Discovering statistics using R. London: Sage publications.↩
De effectmaat Cohen’s w wordt voor de Chi-kwadraat toets berekend door de wortel te nemen van de χ²-waarde gedeeld door het totaal aantal observaties, i.e. $\sqrt{ \frac{\chi^2}{N} }$.↩
Allen, P. & Bennett, K. (2012). SPSS A practical Guide version 20.0. Cengage Learning Australia Pty Limited.↩
Field, A., Miles, J., & Field, Z. (2012). Discovering statistics using R. London: Sage publications.↩
In dit voorbeeld wordt uitgegaan van een waarschijnlijkheid van 95% c.q. een p-waardegrens van 0,05. De grens is naar eigen inzicht aan te passen; houd hierbij rekening met type I en type II fouten.↩
In dit voorbeeld wordt uitgegaan van een waarschijnlijkheid van 95% c.q. een p-waardegrens van 0,05. De grens is naar eigen inzicht aan te passen; houd hierbij rekening met type I en type II fouten.↩

Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid en Fisher’s exacte toets